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Colles de mathématiques

Carré d'une loi uniforme


Sujet


Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[a,b]$, avec $0\leqslant a\leqslant b$.
Donner la fonction de répartition, la densité et l'espérance de la variable aléatoire $Y=X^2$.

Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues

Correction


On calcule la fonction de répartion de $Y$. Si $y\leqslant0$, on a $P(Y\leq y)=0$. Si $y\geq0$, alors
\[\begin{array}{ll} P(Y\leq y)&=P(-\sqrt y\leq X\leq \sqrt y)\\[.6em] &=P(X\leq \sqrt y)\\[.6em] &=P(X\leqslant \sqrt y)\enar\]

soit alors, comme $X$ suit la loi uniforme sut $[0;1]$,
\[P(Y\leqslant y)=\la\begin{array}{lcl} 0&\textrm{si }y\leqslant a^2\\ \dfrac{\sqrt y-a}{b-a}&\textrm{si }y\in[a^2,b^2]\\ 1&\textrm{si }y\geqslant b^2. \enar\right.\]

La dérivée de la fonction de répartition donne la densité: On en déduit que $Y$ admet une densité $p_Y$ donnée par :
\[f_Y(y)=\la\begin{array}{ccl} 0&\textrm{si }&y\leqslant a^2\\ \dfrac{1}{2(b-a)\sqrt y}&\textrm{si }&y\in[a^2,b^2]\\ 0&\textrm{si }&y\geqslant b^2. \enar\right.\]

Enfin, comme $Y=X^2$, on a l'espérance
\[\begin{array}{ll}E(Y)=E(X^2)&=\dsp\int_a^b\frac{x^2}{b-a}dx\\[1em] &=\dfrac{b^3-a^3}{3(b-a)}\enar\]