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Colles de mathématiques

Concentration des lois uniformes


Sujet


Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[a,b]$. On note $m$ sa moyenne et $\sigma$ son écart-type.
Calculer la probabilité $P(X\in [m-\sigma,m+\sigma])$.

Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues

Correction


La densité de probabilité de la loi uniforme sur $[a;b]$ est $f(x)=\dfrac{1}{b-a}\mathbf 1_{[a,b]}(x)$.
On sait aussi que $m=E(X)=\dfrac{a+b}2$ et $\sigma=\sigma(X)=\dfrac{b-a}{2\sqrt3}$ (ou le redémontrer).
On remarque aussi que
\[m+\sigma=\dfrac{a+b}2+\dfrac{b-a}{2\sqrt3}\leqslant\dfrac{a+b}2+\frac{b-a}2\leqslant b\]

et de même que $m-\sigma\geq a$.
On caclule alors la probabilité:
\[\begin{array}{lcl} P(X\in [m-\sigma,m+\sigma])&=&\dsp\frac{1}{b-a}\int_{m-\sigma}^{m+\sigma}dt\\[.6em] &=&\dfrac{1}{b-a}\times (m+\sigma-m+\sigma)\\[.6em] &=&\dfrac{2\sigma}{b-a}\\[.6em] &=&\dfrac1{\sqrt3}. \enar\]

On remarque au passage que cette probabilité ne dépend pas de $a$ et de $b$.