Colles de mathématiques
Exponentielle itérées
Sujet
Soit f : RR définie par
f: x ↦ e−x e−e−x.
- Montrer que f est une densité de probabilité.
- Soit X une variable admettant f pour densité. Déterminer la loi de Y = exp(−X) et son espérance.
- Établir que X possède une espérance.
Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues
Correction
-
est clairement positive et continue et de plus
ce qui finit de montrer queest bien une densité de probabilité.
- On a
et, pour
,
d'oùsuit la loi exponentielle
.
On a alors directement aussi.
-
Il s'agit d'une intégrale généralisée, d'une fonction continue sur.
Il reste donc à vérifier que cette intégrale converge aussi en 0 et.
En 0, on a
qui est intégrable en 0 (ce qu'on peut redémontrer en utilisant une primitivede
).
En, on a par croissances comparées
c'est-à-dire que
et est donc convergente par comparaison avec une intégrale de Riemann (avec).
Ainsi l'intégrale existe et l'espérance aussi.