🔍

Colles de mathématiques

Famille construite à partir de n vecteurs libres

Sujet

Soit $(v_1,\dots,v_n)$ une famille libre d'un $\mathbb R$ -espace vectoriel

. Pour $k=1,\dots,n$ , on pose $w_k=v_k+v_{k+1}$ et

.
Etudier l'indépendance linéaire de la famille $(w_1,\dots,w_n)$ .

Corrigé de l'exercice de maths: Espaces vectoriels

Correction

Soit $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ tels que

$\lambda_1w_1+\dots +\lambda_nw_n=0$

alors,

$\sum_{k=1}^{n-1}\lambda_k(v_k+v_{k+1})+\lambda_n (v_n+v_1)=0$

ou encore

$(\lambda_1+\lambda_n)v_1+\sum_{k=2}^n(\lambda_k+\lambda_{k+1})v_k=0.$

Comme le système $(v_1,\dots,v_n)$ est linéairement indépendant, on en déduit le système :

$\la\begin{array}{rcl} \lambda_n&=&-\lambda_1\\ \lambda_k&=&-\lambda_{k-1}\textrm{ pour }2\leq k\leq n. \enar\right.$

La deuxième égalité donne facilement par récurrence, pour $2\leq k\leq n$ , $\lambda_k=(-1)^{k-1}\lambda_1$ . En particulier, on a $\lambda_n=(-1)^{n-1}\lambda_1$ . On discute maintenant suivant la parité de

Si est impair, alors on a à la fois $\lambda_n=\lambda_1$ et $\lambda_n=-\lambda_1$ . Ceci impose $\lambda_1=0$ , et par suite $\lambda_k=0$ pour tout . Le système est libre.
Si est pair, la dernière équation est $\lambda_n=-\lambda_1$ , qui est la même que la première.
On a alors un système de équations à inconnues. Si on fixe par exemple $\lambda_1=1$ , on a $\lambda_k=(-1)^k$ , et on a donc trouvé une combinaison linéaire nulle non triviale $\lambda_1w_1+\dots+\lambda_nw_n=0$ .
La famille est liée.