Colles de mathématiques
Famille libre de polynômes de degrés distincts
Sujet
Montrer que toute famille de polynômes non nuls de degrés deux à deux distincts est libre.
Corrigé de l'exercice de maths: Espaces vectoriels - Polynômes
Correction
On considère une famille de n polynômes
P1, P2, … , Pn de degrés respectifs
d1, d2, … , dn .
Comme ces degrés sont tous disctints, et quitte à renommer ces polynômes, on peut supposer que la famille est ordonnée selon les degrés croissants: d1 < d2 < … < dn .
Soit maintenant λ1, λ2, … , λn , tels que
![\[\lambda_1 P_1+\lambda_2P_2+ \dots + \lambda_n P_n=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/12.png)
Cette relation se réécrit
![\[\lambda_nP_n=-\sum_{k=1}^{n-1}\lambda_iP_i\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex2_c/13.png)
Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de degré au plus dn−1 et, si dn≠0 alors dn = deg(λnPn) > dn−1 ce qui est impossible.
On a donc necéssairement λn = 0 .
Par une récurrence immédiate, on a alors aussi successivement λn−1 = λn−2 = … = λ1 = 0, ce qui montre que la famille est libre.
Comme ces degrés sont tous disctints, et quitte à renommer ces polynômes, on peut supposer que la famille est ordonnée selon les degrés croissants: d1 < d2 < … < dn .
Soit maintenant λ1, λ2, … , λn , tels que
Cette relation se réécrit
Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de degré au plus dn−1 et, si dn≠0 alors dn = deg(λnPn) > dn−1 ce qui est impossible.
On a donc necéssairement λn = 0 .
Par une récurrence immédiate, on a alors aussi successivement λn−1 = λn−2 = … = λ1 = 0, ce qui montre que la famille est libre.