Colles de mathématiques
Famille libre de polynômes de valuations distinctes
Sujet
Montrer que toute famille de polynômes non nuls de valuation deux à deux distinctes est libre.
Corrigé de l'exercice de maths: Espaces vectoriels - Polynômes
Correction
On considère une famille de n polynômes polynômes
P1, P2, … , Pn de valuations respectives
v1, v2, … , vn .
Comme ces valuations sont toutes disctintes, et quitte à renommer ces polynômes, on peut supposer que la famille est ordonnée selon les valuations croissantes: v1 < v2 < … < vn .
Soit maintenant λ1, λ2, … , λn , tels que
![\[\lambda_1 P_1+\lambda_2P_2+ \dots + \lambda_n P_n=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/12.png)
Cette relation se réécrit
![\[\lambda_1P_1=-\sum_{k=2}^n\lambda_iP_i\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/ex3_c/13.png)
Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de valuation au minimum v2 et, si λ1 ≠0 , alors v1 = val(λ1P1) < d2 ce qui est impossible.
On a donc necéssairement λ1 = 0 .
Par une récurrence immédiate, on a alors ensuite successivement λ2 = λ3 = … = λn = 0, ce qui montre que la famille est libre.
Comme ces valuations sont toutes disctintes, et quitte à renommer ces polynômes, on peut supposer que la famille est ordonnée selon les valuations croissantes: v1 < v2 < … < vn .
Soit maintenant λ1, λ2, … , λn , tels que
Cette relation se réécrit
Or le membre de droite de cette dernière relation est un polynôme de valuation au minimum v2 et, si λ1 ≠0 , alors v1 = val(λ1P1) < d2 ce qui est impossible.
On a donc necéssairement λ1 = 0 .
Par une récurrence immédiate, on a alors ensuite successivement λ2 = λ3 = … = λn = 0, ce qui montre que la famille est libre.