Colles de mathématiques
Fonction de répartition et nouvelle densité
Sujet
Soit une fonction de répartition d'une variable aléatoire
à densité.
- Montrer que et que
- Montrer que la fonction définie sur par
l'expression
est une densité de probabilité.
Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues
Correction
- On sait que est croissante sur , et que
et .
On utilise la croissance de la fonction pour l'encadrer:
et donc, en intégrant,
soit
On a de plus par hypothèse sur la limite de ,
et donc, par le théorème des gendarmes,
À partir du même encadrement, et comme
on a alors aussi
- Il faut vérifier trois points:
- est continue sur en tant que fonction de répartition
d'une variable à densité, et donc est continue
comme composée de fonctions continues.
- est positive car étant une fonction de répartition elle
est en particulier croissante, et donc, pour tout réel
- il faut enfin que existe (converge) et soit égale à 1.
Soit donc deux réels , alors
et en effectuant le changement de variable affine dans la première intégrale:
puis, par la relation de Chasles,
Enfin, d'après la première question on trouve que, lorsque et ,
- est continue sur en tant que fonction de répartition
d'une variable à densité, et donc est continue
comme composée de fonctions continues.