Colles de mathématiques
Indice de nilpotence maximal dans un espace de dimension fini
Sujet
Soit f un endomorphisme non nul d'un espace de dimension fini n.
On suppose f nilpotent d'indice p, i.e.
f p−1≠0 et f p = 0.
Montrer qu'il existe x0∈E tel que la famille (x0, f (x0), f 2(x0), …, f p−1(x0)) est libre.
En déduire que f n(x0) = 0 .
Montrer qu'il existe x0∈E tel que la famille (x0, f (x0), f 2(x0), …, f p−1(x0)) est libre.
En déduire que f n(x0) = 0 .
Corrigé de l'exercice de maths: Espaces vectoriels
Correction
Par définition,
ce qui signifie justement
qu'il existe
tel que
.
On considère alors une combinaison linéaire nulle: soit
,
, … ,
tels que
![\[\lambda_0x_0+\lambda_1f\left( x_0\rp+\lambda_2f^2\left( x_0\rp+\dots+\lambda_{p-1}f^{p-1}\left( x_0=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/7.png)
Comme
, et donc aussi
pour tout
,
en appliquant
à la combinaison précédente, on obtient
.
Comme on a choisit
tel que
, on a donc nécessairement
.
En appliquant de même
à la combinaison,
on obtient maintenant, avec
,
et donc, de même que précédemment,
.
En réitérant, on obtient donc successivement
,
ce qui montre que la famille
est libre.
Il s'agit ici de montrer que l'indice de nilpotence
vérifie
.
Comme cette famille est libre dans un espace de dimension
, elle contient nécessairement moins de
vecteurs.
Comme elle est composée de
vecteurs, on a donc
et alors, comme on l'a remarqué précédemment,
pour tout
; en particulier
.



On considère alors une combinaison linéaire nulle: soit



![\[\lambda_0x_0+\lambda_1f\left( x_0\rp+\lambda_2f^2\left( x_0\rp+\dots+\lambda_{p-1}f^{p-1}\left( x_0=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/ev/exnil_c/7.png)
Comme





Comme on a choisit



En appliquant de même




En réitérant, on obtient donc successivement


Il s'agit ici de montrer que l'indice de nilpotence


Comme cette famille est libre dans un espace de dimension






