Colles de mathématiques
Indice de nilpotence maximal dans un espace de dimension fini
Sujet
Soit f un endomorphisme non nul d'un espace de dimension fini n.
On suppose f nilpotent d'indice p, i.e.
f p−1≠0 et f p = 0.
Montrer qu'il existe x0∈E tel que la famille (x0, f (x0), f 2(x0), …, f p−1(x0)) est libre.
En déduire que f n(x0) = 0 .
Montrer qu'il existe x0∈E tel que la famille (x0, f (x0), f 2(x0), …, f p−1(x0)) est libre.
En déduire que f n(x0) = 0 .
Corrigé de l'exercice de maths: Espaces vectoriels
Correction
Par définition, ce qui signifie justement
qu'il existe tel que .
On considère alors une combinaison linéaire nulle: soit , , … , tels que
Comme , et donc aussi pour tout , en appliquant à la combinaison précédente, on obtient .
Comme on a choisit tel que , on a donc nécessairement .
En appliquant de même à la combinaison, on obtient maintenant, avec , et donc, de même que précédemment, .
En réitérant, on obtient donc successivement , ce qui montre que la famille est libre.
Il s'agit ici de montrer que l'indice de nilpotence vérifie .
Comme cette famille est libre dans un espace de dimension , elle contient nécessairement moins de vecteurs. Comme elle est composée de vecteurs, on a donc et alors, comme on l'a remarqué précédemment, pour tout ; en particulier .
On considère alors une combinaison linéaire nulle: soit , , … , tels que
Comme , et donc aussi pour tout , en appliquant à la combinaison précédente, on obtient .
Comme on a choisit tel que , on a donc nécessairement .
En appliquant de même à la combinaison, on obtient maintenant, avec , et donc, de même que précédemment, .
En réitérant, on obtient donc successivement , ce qui montre que la famille est libre.
Il s'agit ici de montrer que l'indice de nilpotence vérifie .
Comme cette famille est libre dans un espace de dimension , elle contient nécessairement moins de vecteurs. Comme elle est composée de vecteurs, on a donc et alors, comme on l'a remarqué précédemment, pour tout ; en particulier .