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Colles de mathématiques

Intégrale et loi normale


Sujet


Soit $I=\dsp\int_0^{+\infty}t^2e^{-\frac{t^2}2}dt$
  1. Montrer que l'intégrale $I$ est convergente, puis la calculer.
  2. Pour quelle valeur du réel $c$, la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=0$ si $x\leqslant1$ et $f(x)=cx^2e^{-(x-1)^2/2}$ sinon est-elle une densité de probabilité ?

Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues

Correction


  1. La fonction à intégrer est clairement continue sur $\R_+$, donc l'intégrale est seulement impropre en $+\infty$.
    On a, par croissances comparées,
    \[\lim_{t\to+\infty}t^2.t^2e^{-\frac{(t-1)^2}2}=0\]

    ce qui signfie que
    \[t^2e^{-\frac{(t-1)^2}2} = o\lp\dfrac1{t^2}\rp\]

    avec $1/t^2$ intégrable en $+\infty$ (intégrale de Riemann), et donc l'intégrale converge bien.

    On intègre $I$ par parties:
    \[\begin{array}{ll} I&=\dsp\int_0^{+\infty}t\times te^{-\frac{t^2}2}dt\\ &=\dsp\left[ -te^{-\frac{t^2}2}\rb_0^{+\infty}-\int_0^{+\infty}-e^{-\frac{t^2}2}dt\\[1em] &= \qquad 0\hspace{3em}+ \ \dsp\int_0^{+\infty}e^{-\frac{t^2}2}dt \enar\]

    Cette dernière intégrale nous rappele la loi normale, dont la densité est
    \[\varphi(t)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}2}\]

    et, comme il s'agit de la densité d'une loi de probabilité,
    \[\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(t)dt=1\]

    et donc, par parité de la fonction à intégrée:
    \[\int_0^{+\infty}e^{-\frac{t^2}2}(t)dt=\dfrac{\sqrt{2\pi}}2\]

    Ainsi,
    \[I=\dfrac{\sqrt{2\pi}}2\]

  2. La fonction $f$ est clairement continue sur $\R$, et positive.
    Il reste à déterminer $c$ pour
    \[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\]

    soit
    \[c\int_1^{+\infty}x^2e^{-\frac{(x-1)^2}2}=1\]

    On appelle $J$ l'intégrale précédente.
    Pour se ramener à la question précédente, on fait le changement de variable affine $t=x-1$, et alors
    \[\begin{array}{ll}J=&\dsp\int_1^{+\infty}x^2e^{-\frac{(x-1)^2}2}\\ &=\dsp\int_0^{+\infty}(t+1)^2e^{-\frac{t^2}2}dt\enar\]

    En développant on a alors trois intégrales à calculer:
    \[J=\dsp\int_0^{+\infty}t^2e^{-\frac{t^2}2}dt + 2\int_0^{+\infty}te^{-\frac{t^2}2}dt +\int_0^{+\infty}e^{-\frac{t^2}2}dt\]

    La première est celle de la question précédente.
    La deuxième s'intègre directement, comme à la question précédente:
    \[\int_0^{+\infty}te^{-\frac{t^2}2}dt=\left[ -e^{-\frac{t^2}2}\rb_0^{+\infty}=1\]

    La troisième a été calculé à la question précédente et vaut $\dfrac{\sqrt{2\pi}}2$.

    En résumé, on a donc
    \[\begin{array}{ll}J&=\dfrac{\sqrt{2\pi}}2+2\tm1+\dfrac{\sqrt{2\pi}}2+\dfrac{\sqrt{2}}2\\ &=2+\sqrt{2}\enar\]