Colles de mathématiques
Lois de Pareto et exponentielle
Oral ENSAE, Saclay, filière B/L, 2019
Sujet
Soit et soit .
On définit une variable aléatoire telle que:
- Montrer que est une variable aléatoire à densité, calculer sa densité.
Représenter une allure de la fonction de répartition et de la densité.
On dit que suit une loi de Pareto de paramètres et . - Soit une variable aléatoire qui suit une loi de Pareto de paramètres et .
Calculer .
Qu'en est-il si suit une loi exponentiellle de paramètre ?
- Montrer que :
- À quelles conditions sur , admet-elle une espérance ?
Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues - Annales ENSAE - Saclay - B/L
Correction
Oral ENSAE - Saclay - 2019
Soit et soit . On définit une variable aléatoire telle que:
Soit et soit . On définit une variable aléatoire telle que:
- On note .
Alors, si , on a et pour , on a
est continue sur (à vérifier en , et de classe par morceaux, sauf en .
La fonction densité est alors
où et
et donc est bien une variable aléatoire à densité de densité .
- Pour et donc , on a
Si suit une loi exponentiellle de paramètre alors, de même que précédemment,
- Soit la variable aléatoire ,
alors par croissance du logarithme,
et on trouve bien que suit la loi . - On a
Cette intégrale, de Riemann, converge, et donc l'espérance existe, si et seulement si .