Colles de mathématiques
Matrice d'une application linéaire, et changement de bases
Sujet
Soit l'application de dans définie par
- Montrer que est linéaire
- Soient
la base canonique de
et
la base canonique de .
Calculer , et en fonction de , , et . - Écrire la matrice de dans les bases canoniques.
- Montrer que est une base de .
- Écrire la matrice de dans les bases et .
Corrigé de l'exercice de maths: Applications linéaires - Matrices - Espaces vectoriels
Correction
- Soit , et , alors
De même, on a
Ainsi, est linéaire.
- On a
- La matrice est:
- Puisque est de dimension 4 et que la famille a quatre éléments,
il suffit de montrer qu'elle est libre.
C'est bien le cas ici, car si , alors
- Il s'agit d'exprimer chaque
en fonction des vecteurs de la nouvelle base.
Pour deux des vecteurs, on a directement que et .
Pour le troisième, il faut trouver de sorte que
Ceci revient à résoudre le système
Ainsi, on et la matrice de dans les bases et est donc