Colles de mathématiques
Matrice d'une projection orthogonale dans l'espace
Sujet
Soit E = R3 muni de sa structure euclidienne canonique.
Soit p∈ℒ(E) dont la matrice dans la base canonique est
Déterminer la distance de (1, 1, 1) à ce plan.
A = 16
5
−2
1
−2
2
2
1
2
5
Montrer que p est une projection orthogonale sur un plan
dont on précisera l'équation.Déterminer la distance de (1, 1, 1) à ce plan.
Corrigé de l'exercice de maths: Produit scalaire dans Rn - Espaces euclidiens - Projecteurs - Matrices
Correction
On commence par remarquer que .
Ainsi, est bien une projection.
On va déterminer et .
Il suffira ensuite de démontrer que ces deux sous-espaces sont orthogonaux pour pouvoir conclure.
On remarque d'abord que si et seulement si
Ainsi, , où . On en déduit (on sait déjà que est une projection) que est de dimension 2. Puis, puisque et sont indépendants, en posant et , on en déduit que .
Pour démontrer que est une projection orthogonale, il reste à prouver que . Mais et , donc on a bien .
Puisque est un vecteur normal au plan , une équation de ce plan est
Enfin, la distance de au plan par:
Ainsi, , où . On en déduit (on sait déjà que est une projection) que est de dimension 2. Puis, puisque et sont indépendants, en posant et , on en déduit que .
Pour démontrer que est une projection orthogonale, il reste à prouver que . Mais et , donc on a bien .
Puisque est un vecteur normal au plan , une équation de ce plan est
Enfin, la distance de au plan par: