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Colles de mathématiques

Min et max de deux lois exponentielles


Sujet


Soit $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi exponentielle de paramètres respectifs $\lambda_1$ et $\lambda_2$. On pose $Y=\min(X_1,X_2)$.
  1. Pour tout réel $y$, calculer $P(Y\geqslant y)$. En déduire que $Y$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_1+\lambda_2$.
  2. Deux guichets sont ouverts à une banque. Le temps de service au premier guichet (resp. au deuxième) suit une loi exponentielle de moyenne 20 min (resp. 30 min). Deux clients rentrent simultanément, l'un choisit le guichet 1 et l'autre le guichet 2. En moyenne, après combien de temps sort le premier?
  3. En moyenne, après combien de temps sort le dernier.

Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues

Correction


  1. On va commencer par calculer $P(X_1\geqslant y)$. Si $y\leqslant0$, alors $P(X_1\geqslant y)=1$ (car $X_1$ est à valeurs dans $\R_+$).
    Sinon, pour $y\geqslant0$, on a
    \[P(X_1\geqslant y) =\int_y^{+\infty}\dfrac1{\lambda_1}e^{-\lambda_1 y}dy=e^{-\lambda_1 y}\]

    et de même,
    \[P(X_2\geqslant y)=e^{-\lambda_2 y}\]

    $Y$ est à valeurs positives, donc $P(Y\geqslant y)=1$ si $y\leqslant0$. Si $y\geqslant0$, alors
    \[P(Y\geqslant y)=P\Bigl(\left( X_1\geqslant y\rp\cap\left( X_2\geqslant y\rp\Bigr) =P(X_1\geqslant y)P(X_2\geqslant y) =e^{-(\lambda_1+\lambda_2)y}\]

    grâce à l'indépendance de $X_1$ et $X_2$, et on reconnait la fonction de répartition d'une loi exponentielle de paramètre $\lambda_1+\lambda_2$.
  2. On cherche $E(Y)$, avec $\lambda_1=1/20$ et $\lambda_2=1/30$. L'espérance de $Y$ est donc
    \[E(Y)=\frac1{\lambda_1+\lambda_2}=\frac{60}5=12\]

  3. On cherche l'espérance de $X$, où $X$ est la variable aléatoire définie cette fois par $X=\max(Y_1,Y_2)$, On peut procéder comme à la question précédente en cherchant la fonction de répartition de $X$, ou remarquer que pour tout nombre $a$ et $b$ on a
    \[\min(a,b)+\max(a,b)=a+b\]

    soit ici
    \[X+Y=X_1+X_2\]

    En prenant l'espérance, et par linéarité, on trouve
    \[E(X)=E(X_1)+E(X_2)-E(Y)=20+30-12=38\]