Colles de mathématiques
Minimum de la norme d'une somme
Sujet
Soit E = Rn muni du produit scalaire canonique,
et x, y deux éléments de E.
Montrer que x et y sont orthogonaux si et seulement si
||x + λy||≥||x|| ,
pour tout λ∈R .
Corrigé de l'exercice de maths: Produit scalaire dans Rn - Espaces euclidiens
Correction
On a
Si x est orthogonal à y, donc ⟨x, y⟩ = 0, alors l'inégalité précédente est bien vérifiée pour tout λ∈R.
Réciproquement, si
||x + λy||2 = ||x||2 + 2λ⟨x, y⟩ + λ2||y||2
et donc
||x + λy||≥||x||
⇔
||x + λy||2≥||x||2
⇔
2λ<x, y> + λ2||y||2≥0
Si x est orthogonal à y, donc ⟨x, y⟩ = 0, alors l'inégalité précédente est bien vérifiée pour tout λ∈R.
Réciproquement, si
P(λ) = 2λ⟨x, y⟩ + λ2||y||2≥0
pour tout réel λ,
alors le discriminant du polynôme du second degré P est négatif ou nul, soit
Δ = 4⟨x, y⟩2≤0
Ceci n'est possible que si ⟨x, y⟩ = 0, c'est-à-dire si x et y sont orthogonaux.