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Colles de mathématiques

Projections orthogonales


Sujet


Soit E un espace vectoriel euclidien, et p, q ∈ℒ(E) deux projecteurs orthogonaux.
  1. Montrer que, pour tout x∈E, on a ||p(x)||≤||x|| .
  2. Montrer que Ker(q)⊂Ker(p) si et seulement si, pour tout x∈E, on a ||p(x)||≤||q(x)|| .

Corrigé de l'exercice de maths: Produit scalaire dans Rn - Espaces euclidiens - Projecteurs

Correction


  1. On écrit la décomposition orthognale sur E = Ker(p)⊕Im(p):
    x = p(x) + (x − p(x))
    avec, par le théorème de Pythagore,
    ||x||2 = ||p(x)||2 + ||(x − p(x))||2
    d'où le résultat
    ||p(x)||2≤||x||2
    et donc, puisqu'il s'agit de nombres positifs,
    ||p(x)||≤||x||

  2. Supposons que pour tout x∈E, ||p(x)||≤||q(x)|| .
    Si x∈Ker(q), c'est-à-dire q(x) = 0 et alors on a
    ||p(x)||≤||q(x)|| = 0 ,
    d'où ||p(x)|| = 0 et donc p(x) = 0 , c'est-à-dire que x∈Ker(p) .
    On vient donc de montrer que Ker(q)⊂Ker(p) .

    Réciproquement, supposons maintenant que Ker(q)⊂Ker(p) .
    Soit x∈E qu'on décompose suivant la projection q: soit x = x1 + x2 avec x1∈Ker(q) et x2∈Im(q) alors
    q(x) = x2
    et
    p(x) = p(x1) + p(x2) = p(x2)
    car x1∈Ker(q)⊂Ker(p) .
    Or p est une projection orthogonale, donc, d'après la question précédente,
    ||p(x2)||≤||x2||

    3. d'où ici
    ||p(x)|| = ||p(x2)|| ≤||x2|| = ||q(x)||