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Colles de mathématiques

Projections orthogonales

Sujet

Soit E un espace vectoriel euclidien, et p, q ∈ℒ(E) deux projecteurs orthogonaux.

Montrer que, pour tout x∈E, on a ||p(x)||≤||x|| .
Montrer que Ker(q)⊂Ker(p) si et seulement si, pour tout x∈E, on a ||p(x)||≤||q(x)|| .

Corrigé de l'exercice de maths: Produit scalaire dans Rⁿ - Espaces euclidiens - Projecteurs

Correction

On écrit la décomposition orthognale sur E = Ker(p)⊕Im(p):
x = p(x) + (x − p(x))
avec, par le théorème de Pythagore,
||x||² = ||p(x)||² + ||(x − p(x))||²
d'où le résultat
||p(x)||²≤||x||²
et donc, puisqu'il s'agit de nombres positifs,
||p(x)||≤||x||
Supposons que pour tout x∈E, ||p(x)||≤||q(x)|| .
Si x∈Ker(q), c'est-à-dire q(x) = 0 et alors on a
||p(x)||≤||q(x)|| = 0 ,
d'où ||p(x)|| = 0 et donc p(x) = 0 , c'est-à-dire que x∈Ker(p) .
On vient donc de montrer que Ker(q)⊂Ker(p) .

Réciproquement, supposons maintenant que Ker(q)⊂Ker(p) .
Soit x∈E qu'on décompose suivant la projection q: soit x = x₁ + x₂ avec x₁∈Ker(q) et x₂∈Im(q) alors
q(x) = x₂
et
p(x) = p(x₁) + p(x₂) = p(x₂)
car x₁∈Ker(q)⊂Ker(p) .
Or p est une projection orthogonale, donc, d'après la question précédente,
||p(x₂)||≤||x₂||

||p(x)|| = ||p(x₂)|| ≤||x₂|| = ||q(x)||