Colles de mathématiques
Réciproque d'une fonction de répartition
Oral ESCP - filière B/L, 2021
Sujet
Oral ESCP, BL - 2021
Soit f la fonction définie sur R par, pour tout réel x,
Soit f la fonction définie sur R par, pour tout réel x,
f (x) =
2(ex + e−x)2
- Montrer que f peut être considérée comme une densité d'une certaine variable aléatoire X.
-
- Montrer que X possède une espérance et donner sa valeur.
- Montrer que X possède une variance (on ne demande pas sa valeur).
- On note F la fonction de répartition de X. Montrer, sans calculer F(x), que F est une bijection de R dans un intervalle I que l’on précisera.
- On considère la variable aléatoire Y définie par Y = F(X).
- Déterminer la loi de Y.
- Calculer l'expression de F(x) pour tout réel x.
- Déterminer F−1, bijection réciproque de F.
Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues - Annales ESCP - B/L
Correction
Oral ESCP, BL - 2021
- f est clairement positive et continue sur R.
De plus, pour A>0,
et on trouve donc, à la limite où A+∞,
ce qui finit de montrer que f peut bien être considérée comme une densité de probabilité.
- On a t2(t f (t))0 lorsque t+∞, par croissances comparées, ce qui montre, par comparaison avec une intégrale de Riemann, que t ↦ t f(t) est intégrable en l'infini, et donc que E(X) existe.
De plus, comme f est paire, on en déduit que t ↦ t f(t) est impaire, et alors que E(X) = 0. - De même que précédemment, t2(t2f (t))0 lorsque t+∞ et donc X admet aussi un moment d'ordre 2 (et des moments de tout ordre, de la même façon), et en particulier, V(X) existe.
- On sait que F est une fonction continue, strictement croissante sur R avec
et
et ainsi,est une bijection de R dans ]0; 1[.
(et ceci est vrai pour tout fonction de répartition).
-
- On a Y(Ω) = ]0; 1[. On s'intéresse à la fonction de répartition de Y, pour x∈]0; 1[,
Comme, d'après la question précédente, F est bijective, on peut utiliser sa réciproque F−1, et alors
et donc, en revenant à la fonction de répartition de X,
On en déduit que la densité de Y est constante sur ]0; 1[: il s'agit de la loi uniforme. - On a déjà vu le calcul à la première question:
- Pour déterminer l'expression de la fonction réciproque, on cherche à inverser la relation F(x) = y
- On a Y(Ω) = ]0; 1[. On s'intéresse à la fonction de répartition de Y, pour x∈]0; 1[,