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Colles de mathématiques

Réciproque d'une fonction de répartition

Oral ESCP - filière B/L, 2021



Exercice de maths: Variables aléatoires continues - Annales ESCP - B/L

Sujet


Oral ESCP, BL - 2021
Soit f la fonction définie sur R par, pour tout réel x,
f (x) = 2/(ex + e−x)2
  1. Montrer que f peut être considérée comme une densité d'une certaine variable aléatoire X.
    1. Montrer que X possède une espérance et donner sa valeur.
    2. Montrer que X possède une variance (on ne demande pas sa valeur).
    3. On note F la fonction de répartition de X. Montrer, sans calculer F(x), que F est une bijection de R dans un intervalle I que l’on précisera.
  3. On considère la variable aléatoire Y définie par Y = F(X).
    1. Déterminer la loi de Y.
    2. Calculer l'expression de F(x) pour tout réel x.
    3. Déterminer F−1, bijection réciproque de F.

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