Colles de mathématiques
Rendez-vous à un quart d'heure près
Sujet
Clément et Amélie se donnent rendez-vous devant une salle de concert entre 19h et 20h.
Leurs instants d'arrivée après 19h sont indépendants et assimilés à une loi uniforme sur .
Chacun attend jusqu'à un quart d'heure que l'autre arrive, puis rentre dans la salle.
Quelle est la probabilité qu'ils entrent ensemble dans la salle de concert?
Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues
Correction
On note la variable aléatoire "instant d'arrivée de Clément" et la variable aléatoire "instant d'arrivée d'Amélie", on cherche la probabilité pour que .
Méthode graphique:
suit une loi uniforme sur le carré . La probabilité recherchée est donc
On a .
Ainsi,
L'aire du carré vaut 1.
L'aire de chaque triangle rectangle au dessous et au dessus du domaine est
et alors, l'aire, et la probabilité, recherchées sont donc
Méthode analytique
On rappelle de plus que la densité d'une variable aléatoire uniforme sur est
De même que dans la méthode précédente, on cherche la probabilité de l'événement
Ainsi,
Au total, la probabilité recherchée est
Méthode graphique:
suit une loi uniforme sur le carré . La probabilité recherchée est donc
On a .
Ainsi,
- pour , on a donc
- pour , on a donc
- pour , on a .
L'aire de chaque triangle rectangle au dessous et au dessus du domaine est
et alors, l'aire, et la probabilité, recherchées sont donc
Méthode analytique
On rappelle de plus que la densité d'une variable aléatoire uniforme sur est
De même que dans la méthode précédente, on cherche la probabilité de l'événement
Ainsi,
- pour , on a donc
et on a alors la probabilité
et donc la probabilité pour tous les :
- pour , on a donc
et on a alors la probabilité
et donc la probabilité pour tous les :
- Enfin, pour , on a .
et on a la probabilité
et donc la probabilité pour tous les ,
Au total, la probabilité recherchée est