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Colles de mathématiques

Somme télescopique


Sujet


Montrer que la suite définie par
\[S_n=\sum_{k=2}^n\lp\dfrac1{\sqrt{k-1}}-\dfrac2{\sqrt{k}}+\dfrac1{\sqrt{k+1}}\rp\]

est convergente, et calculer sa somme

Corrigé de l'exercice de maths: Sommes

Correction


Il s'agit d'une somme télescopique:
\[\begin{array}{lcl} S_n&=&\dsp\sum_{k=2}^n \lp\dfrac1{\sqrt{k-1}}-\dfrac2{\sqrt{k}}+\dfrac1{\sqrt{k+1}}\rp\\[1.2em] &=&\dsp\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{\sqrt{k}}-2\sum_{k=2}^n\dfrac1{\sqrt k}+\sum_{k=3}^{n+1} \dfrac1{\sqrt{k}}\\[1.2em] &=&1-\dfrac1{\sqrt 2}-\dfrac1{\sqrt n}+\dfrac1{\sqrt{n+1}}. \enar\]

On trouve ainsi que cette suite converge, avec
\[\lim_{n\to+\infty}S_n=1-\dfrac1{\sqrt2}\]