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Colles de mathématiques

Sous-espaces vectoriels


Sujet


Déterminer lesquels des ensembles E1, E2 et E3 sont des sous-espaces vectoriels de R3:
  1. E1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x+2y = z}
  2. E2 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x2+y2+z2 = 1}
  3. E3 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x(y+z) = 0}

Corrigé de l'exercice de maths: Espaces vectoriels

Correction


  1. E1 est un sous-espace vectoriel: $(0,0,0)\in E_1$, et si $u(x,y,z)\in E_1$ et $v(x',y',z')\in E_1$ et $\lambda\in\R$, donc $x+2y=z$ et $x'+2y'=z'$ et alors $(u+v)(x+x',y+y',z+z')$ avec
    \[(x+x')+2(y+y')=\left( x+2y\rp+\left( x'+2y'\rp =z+z'\]

    et donc $u+v\in E_1$. De même, $(\lambda u)(\lambda x,\lambda y,\lambda z)$ avec
    \[\lambda x+2(\lambda y) =\lambda(x+2y) =\lambda z\]

    et donc $\lambda u\in E_1$. Ainsi, E1 est un sous-espace vectoriel de R3.

  2. E2 n'est pas un espace vectoriel.
    Il suffit de trouver un contre exemple, par exemple $u(1,0,0)\in E_2$, mais $(2u)(2,0,0)\notin E_2$.

  3. De même, E3 n'est pas un espace vectoriel.
    Il suffit de trouver un contre exemple, par exemple $u(0,1,1)\in E_3$ et $v(1,1,-1)\in E_3$, mais $w=u+v$ tel que $w(1,2,0)\notin E_3$.