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Colles de mathématiques

Suite implicite: racine d'une suite de fonctions



Exercice de maths: Suites - Limite

Sujet


Pour tout $n\in\N^*$ on pose $f_n(x)=e^{-nx}-x$.
  1. Montrer que l'équation $f_n(x)=0$ admet une unique solution positive. On la notera $\alpha_n$.
  2. Montrer que pour tout entier $n\geqslant0$ et tout réel $x\geqslant0$ on a $f_{n+1}(x)\leqslant f_n(x)$.
  3. En déduire que la suite $\alpha$ est décroissante.
  4. Monter qu'elle converge vers une limite $l$.
  5. Montrer que $l$ n'est pas strictement positive. Donner alors la valeur de $l$.
  6. Montrer que $n\alpha_n\to+\infty$.

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