Colles de mathématiques
Sur les valeurs propres d'une matrice aléatoire
Oral HEC - filière B/L, 2022
Sujet
oral HEC, BL - 2022 - Exercice sans préparation.
Soit et deux variables aléatoires indépendantes dfinies sur le même espace probabilisé , suivant la même loi géométrique de paramètre .
Pour tout , on pose
Soit et deux variables aléatoires indépendantes dfinies sur le même espace probabilisé , suivant la même loi géométrique de paramètre .
Pour tout , on pose
- Déterminer la probabilité que soit inversible.
- Soit et les variables aléatoires égales aux valeurs propres de . Calculer .
Corrigé de l'exercice de maths: Diagonalisation - Variables aléatoires continues - Annales HEC - B/L
Correction
oral HEC, BL - 2022 - Exercice sans préparation.
- La matrice est inversible si seulement si son déterminant est non nul, soit
et donc, puisque ces variables aléatoires suivent des lois géométriques, donc en particulier sont à valeurs positives, on à donc que est inversible si et seulement si
La probabilité que cela arrive est
avec
soit, par indépendance des deux variables,
On obtient alors finalement la porbabilité
- Les valeurs propres de sont les réels tels que
la matrice
n'est pas inversible. On retrouve le raisonnement de la question précédente: le déterminant de cette matrice doit être nul, c'est-à-dire
On a donc nos deux valeurs propres
et
(ce qui montre au passage que cette matrice est toujours diagonalisable, car sauf si , dernier cas dans lequel la matrice est déjà diagonale)
On calcule alors la covariance recherchée:
soit, en développant avec la linéarité de l'espérance,
car ces deux variables aléatoires suivent la même loi.
Attention: on ne peut pas en déduire que les varaiables aléatoires et sont indépendantes.
Au contraire même, vu leurs expressions, elles ne semblent pas indépendantes, à démontrer …