Colles de mathématiques
Comportement asymptotique de l'espérance du max de lois exponentielles
Oral ENS Ulm, filière B/L, 2017
Exercice de maths: Variables aléatoires continues - Annales ENS Ulm - B/L
Sujet
Soit
un entier et
des variables aléatoires indépendantes de même loi exponentielle de paramètre 1.
On pose:
![\[M_n = \max\left( X_1 , \dots , X_n\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/EmaxE/3.png)


![\[M_n = \max\left( X_1 , \dots , X_n\rp\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/EmaxE/3.png)
- Montrer que
admet une densité, qu'on déterminera et qu'on représentera graphiquement.
- Montrer que l’intégrale
converge.
- Déterminer la valeur de la limite de
quand
. Indication : on pourra utiliser, sans preuve, le fait que
pour toute variable aléatoire positive
faire un changement de variable dans l’intégrale.