Colles de mathématiques
Espérance et fonction de répartition
Oral ENSAE, Saclay, filière B/L, 2019
Exercice de maths: Variables aléatoires continues - Annales ENSAE - Saclay - B/L
Sujet
Soit
une densité de probabilité d'une variable aléatoire
à valeurs dans
, et
sa fonction de répartition.
On note:
![\[\forall t\geqslant0,\ Q(t) =1-F(t)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp/5.png)
On suppose qu'il existe
tel que
![\[\lim_{t\to+\infty}t^\alpha Q(t)=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp/7.png)




![\[\forall t\geqslant0,\ Q(t) =1-F(t)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp/5.png)
On suppose qu'il existe

![\[\lim_{t\to+\infty}t^\alpha Q(t)=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp/7.png)
- Montrer que
existe et que
- Soit
, … ,
,
variables aléatoires indépendantes, toutes de loi exponentielle de paramètre 1.
On note.
Déterminerla fonction de répartition de
.
En déduire l'espérance et la variance de.
- Soit
qui suit une loi géométrique de paramètre
. On note
.
Déterminerpour tout
.
La variable aléatoireadmet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.