Colles de mathématiques
Espérance et fonction de répartition
Oral ENSAE, Saclay, filière B/L, 2019
Sujet
Soit
une densité de probabilité d'une variable aléatoire
à valeurs dans
, et
sa fonction de répartition.
On note:
![\[\forall t\geqslant0,\ Q(t) =1-F(t)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp/5.png)
On suppose qu'il existe
tel que
![\[\lim_{t\to+\infty}t^\alpha Q(t)=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp/7.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp/1.png)
![$X$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp/2.png)
![$[0;+\infty[$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp/3.png)
![$F$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp/4.png)
![\[\forall t\geqslant0,\ Q(t) =1-F(t)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp/5.png)
On suppose qu'il existe
![$\alpha>1$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp/6.png)
![\[\lim_{t\to+\infty}t^\alpha Q(t)=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp/7.png)
- Montrer que
existe et que
- Soit
, … ,
,
variables aléatoires indépendantes, toutes de loi exponentielle de paramètre 1.
On note.
Déterminerla fonction de répartition de
.
En déduire l'espérance et la variance de.
- Soit
qui suit une loi géométrique de paramètre
. On note
.
Déterminerpour tout
.
La variable aléatoireadmet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues - Annales ENSAE - Saclay - B/L
Correction
Oral ENSAE - Saclay - 2019
Soit
une densité de probabilité d'une variable aléatoire
à valeurs dans
.
On note:
![\[\forall t\geqslant0,\ Q(t) =1-F(t)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp_c/4.png)
On suppose qu'il existe
tel que
![\[\lim_{t\to+\infty}t^\alpha Q(t)=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp_c/6.png)
Soit
![$f$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp_c/1.png)
![$X$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp_c/2.png)
![$[0;+\infty[$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp_c/3.png)
![\[\forall t\geqslant0,\ Q(t) =1-F(t)\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp_c/4.png)
On suppose qu'il existe
![$\alpha\geqslant1$](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp_c/5.png)
![\[\lim_{t\to+\infty}t^\alpha Q(t)=0\]](/Generateur-Devoirs/Colles/VAC/Efp_c/6.png)
-
converge par comparaison avec une intégrale de Riemann car
avec
.
En intégrant alors par parties avecet
, on a
oùet donc
- pour tout
, et comme
, on a le théorème des gendarmes
d'où
- On a, par indépendance,
La variable aléatoiresuit donc la loi exponentielle de paramètre
, et on a donc aussi, en particulier
et
- De même que précédemment, on a maintenant, pour
,
Maintenant, d'après la première question, avec
qui vérifie bien, par croissances comparées,
On a vu alors queexiste avec