Colles de mathématiques
Étude de deux sous-espaces vectoriels, dimensions, intersection, supplémentaires
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Sujet
Soit F et G les sous-espaces vectoriels de R3 définis par:
F =
{(x, y, z) ∈ R3 ;
x − 2y + z = 0}
et
G =
{(x, y, z) ∈ R3 ;
2x − y + 2z = 0}
- Donner une base de F, une base de G, en déduire leur dimension respective.
- Donner une base de F∩G, et donner sa dimension.
- Montrer que la famille constituée des vecteurs de la base de F et des vecteurs de la base de G trouvées en a) est une famille génératrice de R3.
Est-elle libre? - Les espaces F et G sont-ils supplémentaires?
Corrigé de l'exercice de maths: Espaces vectoriels
Correction
- On trouve d'abord une famille génératrice de . On a :
et ainsi, les vecteurs et engendrent . De plus, ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, et donc la famille est libre: c'est donc une base de qui est de dimension 2.
On procède de même pour :
On trouve cette fois que les vecteurs et forment une base de qui est aussi de dimension 2. - On a, pour cette intersection:
et ainsi le vecteur engendre cette intersection. Ce vecteur étant non-nul, il constitue une base de qui est donc, en particulier, de dimension 1. - Il s'agit de montrer que
est une famille génératrice de .
Méthode 1. Pour on cherche à écrire
On voit donc qu'on peut imposer une valeur quelconque à , puis, le système étant triangulaire, obtenir la valeur de grâce à la 3ème équation, puis celle de par la 2ème équation et enfin celle avec la 1ère équation.
Méthode 2. L'espace vectoriel engendré par la réunion des deux bases est . On doit démontrer que , et pour cela il suffit de démontrer que . La formule de Grassmann s'écrit
ce qu'il fallait démontrer.
Cette famille n'est de plus pas libre car une famille libre de a au plus trois éléments. - et ne sont pas supplémentaires car .