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Colles de mathématiques

Exponentielle d'une loi normale


Sujet


On note X la variable aléatoire égale à la durée, en minute, d'un phénomène physique. On note Y = ln(Y) et on suppose que Y suit la loi 𝒩(1;2).
  1. Exprimer la fonction de répartition de X en fonction de celle de la loi de 𝒩(0;1).
  2. En déduire une densité de X.

Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues

Correction


  1. On se ramène à la loi normale centrée réduite en posant $Z=\dfrac{Y-1}{\sqrt2}$ telle que, donc, $Y\sim\mathcal{N}(0;1)$.
    On a alors la fonction de répartition de $X$, pour $x>0$,
    \[\begin{array}{ll} F_X(x)&=P(X\leqslant x) \\ &=P\lp\ln(X)\leqslant \ln(x)\rp\\[.4em] &=P=\left( Y\leqslant\ln(x)\rp\\[.4em] &=P\lp\sqrt2T+1\leqslant\ln(x)\rp\\[.4em] &=P\left( T\leqslant\dfrac{\ln(x)-1}2\rp\\[1em] &=\Phi\lp\dfrac{\ln(x)-1}2\right) \enar\]

    avec $\Phi$ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
  2. Pour obtenir la densité, on dérive cette fonction composée.
    Si $x\leqslant0$, on a $F'_X(x)=0$, sinon, pour $x>0$, on a
    \[F_X=\Phi(u)\]

    avec $u(x)=\dfrac{\ln(x)-1}2$, donc $u'(x)=\dfrac1{2x}$ et la densité de la loi normale:
    \[\Phi'(x)=\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}\]


    On a alors
    \[F'_X=u'\Phi'(u)\]

    soit
    \[F'_X(x)=\dfrac1{2x}e^{-\frac{(ln(x)-1)^2}2}\]