Colles de mathématiques
Exponentielle d'une loi normale
Sujet
On note X la variable aléatoire égale à la durée, en minute, d'un phénomène physique.
On note Y = ln(Y) et on suppose que Y suit la loi 𝒩(1;2).
- Exprimer la fonction de répartition de X en fonction de celle de la loi de 𝒩(0;1).
- En déduire une densité de X.
Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues
Correction
- On se ramène à la loi normale centrée réduite en posant
telle que, donc,
.
On a alors la fonction de répartition de, pour
,
avecla fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
- Pour obtenir la densité, on dérive cette fonction composée.
Si, on a
, sinon, pour
, on a
avec, donc
et la densité de la loi normale:
On a alors
soit