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Colles de mathématiques

Loi d'un produit


Sujet


Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite. Soit Y une variable aléatoire, indépendante de X, et telle que P(Y=1) = p et P(Y=−1) = 1 − p.
Montrer que Z = XY a la même loi que X.

Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues

Correction


On cherche la fonction de répartition de la variable Z = XY, soit

\[F_Z(x)=P(Z\leq x)=P(XY\leq x)\]
Comme $Y$ ne peut prendre que deux valeurs, on peut utiliser la formule des probabilités totales:

\[\begin{array}{ll} F_Z(x)&=P(XY\leq x)\\[.5em] &=P\bigl((XY\leq x)\cap(Y=1)\bigr) +P\bigl((XY\leq x)\cap(Y=-1)\bigr)\\[.5em] &=P\bigl((Y\leq x)\cap(Y=1)\bigr) +P\bigl((-Y\leq x)\cap(Y=-1)\bigr) \enar\]
et, par indépendance des variables
\[F_Z(x)=p\,P(Y\leq x)+(1-p)\,P(-Y\leq x)\]

et donc, avec $\Phi$ la fonction de répartion de la loi normale centrée réduite
\[\begin{array}{ll} F_Z(x) &=p\,\Phi(x)+(1-p)\,P(Y\geq -x)\\[.5em] &=p\,\Phi(x)+(1-p)\,(1-\Phi(-x))\\[.5em] &=p\,\Phi(x)+(1-p)\,\Phi(x)\\[.5em] &=\Phi(x) \enar\]

Ainsi, $F_Z=\Phi$ et donc $Z$ suit aussi la loi normale centrée réduite.