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Colles de mathématiques

Produit de la densité et fonction de repartition d'une loi normale



Exercice de maths: Variables aléatoires continues

Sujet


  1. Calculer $\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}x^2e^{-x^2}\,dx$ sachant que $\dsp\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi$
  2. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
    Soit $\varphi$ la densité et $\Phi$ la fonction de répartition de $X$. Pour tout réel $x$, on pose $g(x)=c\,\varphi(x)\Phi(x)$.
    1. Quelle relation a-t-on entre $\Phi(x)$ et $\Phi(-x)$ ?
    2. Quelle est la valeur de $c$ pour que $g$ soit la densité d'une variable aléaltoire $Y$ ?
    3. Calculer l'espérance et la variance de $Y$.

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