Colles de mathématiques
Racine carrée d'une différence d'exponentielles
Oral HEC - filière B/L, 2022
Sujet
oral HEC, BL - 2022 - Exercice sans préparation.
Soit un réel strictement positif. On note l'application définie sur par:
On admet que est une fonction densité de probabilité, et on note une variable aléatoire de densité .
Soit un réel strictement positif. On note l'application définie sur par:
On admet que est une fonction densité de probabilité, et on note une variable aléatoire de densité .
- Montrer que admet une espérance et calculer sa valeur.
- On note . On admet que est une variable à densité.
Montrer que admet une espérance et une variance et donner leurs valeurs.
Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues - Annales HEC - B/L
Correction
oral HEC, BL - 2022 - Exercice sans préparation.
- admet une espérance si et seulement si
converge, ce qui est le cas, et on sait même facilement calculer cette intégrale
- On et admet une espérance, donc admet un moment d'ordre 2, donc une espérance et un variance.
Pour revenir à la loi de , on passe classiquement par la fonction de répartition:
et on revient à la densité en dérivant cette fonction de répartition:
et on a alors l'espérance
Il reste à calculer ces intégrales: on pose
et
en utilisant l'intégrale de la densité de la loi normale.
On sait en effet, grâce à la loi normale centrée réduite, que
d'où, par symétrie,
Avec le changement de variable , on obtient
De même, en posant on obtient
Finalement, on trouve donc par linéarité de l'intégrale
On peut enfin calculer la vairance à l'aide de la formule de König-Huygens: