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Colles de mathématiques

Rendez-vous à la même heure

Sujet

Clément et Amélie se donnent rendez-vous devant une salle de concert entre 19h et 20h. Leurs instants d'arrivée après 19h sont indépendants et assimilés à une loi uniforme sur [0,1]. Chacun attend jusqu'à un quart d'heure que l'autre arrive, puis rentre dans la salle. Quelle est la probabilité qu'ils entrent ensemble dans la salle de concert ?

Corrigé de l'exercice de maths: Couples de variables aléatoires

Correction

On note

la variable aléatoire "instant d'arrivée de Clément" et

la variable aléatoire "instant d'arrivée d'Amélie", on cherche la probabilité pour que $|X-Y|\leqslant1/4$ .

Méthode graphique:

suit une loi uniforme sur le carré $K=[0,1]\times[0,1]$ . La probabilité recherchée est donc

$P\lp\left|X-Y\right|\leqslant1/4\right) =\dfrac{\textrm{aire}\lp\Bigl\{(x,y)\in K;\ |x-y|\leqslant1/4\Bigr\}\right)}{\text{aire}(K)}$

On a $\left|x-y\right|\leqslant1/4\iff y-1/4\leqslant x\leqslant y+1/4$ .
Ainsi,

pour , on a donc $0\leqslant x\leqslant y+1/4$
pour , on a donc $y-1/4\leqslant x\leqslant 1$
pour , on a $y-1/4\leqslant x\leqslant y+1/4$ .

On trace alors les droites limites

, et le domaine concerné:

$\psset{unit=4cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture}(-.2,1.2)(-.2,1.2) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,.25)(0,0)(.25,0)(1,.75)(1,1)(.75,1) \psline{->}(-.2,0)(1.2,0) \psline{->}(0,-.2)(0,1.2) \rput(1,-.1){1} \rput(-.05,1){1} \rput(-.05,.25){$\frac14$} \rput(.25,-.1){$\frac14$} \rput(-.05,-.1){0} \psplot{0}{.75}{x .25 add} \psplot{.25}{1}{x .25 sub} \psline(1,0)(1,1)(0,1) \rput(-.05,.75){$\frac34$}\psline[linestyle=dashed](0,.75)(1,.75) \rput(.75,-.1){$\frac34$}\psline[linestyle=dashed](.75,0)(.75,1) \end{pspicture}$

L'aire du carré

vaut 1.
L'aire de chaque triangle rectangle au dessous et au dessus du domaine est

$\dfrac12\tm\dfrac34\tm\dfrac34=\dfrac9{32}$

et alors, l'aire, et la probabilité, recherchées sont donc

$p=1-2\tm\dfrac9{32}=\dfrac{14}{32}=\dfrac7{16}$

Méthode analytique
On rappelle de plus que la densité d'une variable aléatoire uniforme sur

est

$f(x)=\la\begin{array}{ll}0 &\text{ si } x<0 \\ 1 &\text{ si } 0<x<1\\ 0 &\text{ si } x>1\enar\right.$

De même que dans la méthode précédente, on cherche la probabilité de l'événement

$\left|X-Y\right|<1/4\iff Y-1/4\leqslant X\leqslant Y+1/4$

Ainsi,

pour , on a donc $0\leqslant Y\leqslant Y+1/4$
et on a alors la probabilité

$P\lp0\leqslant X<Y+1/4\rp=\dsp\int_0^{Y+1/4}1\,dx=Y+1/4$

et donc la probabilité pour tous les :

$\begin{array}{ll} \dsp\int_0^{1/4}\left( y+1/4\rp\,dy &=\Bigl[\dfrac12y^2+\dfrac14y\Bigr]_0^{1/4}\\[1.1em] &\hspace{-3em}=\dfrac12\lp\dfrac14\rp^2+\dfrac14\tm\dfrac14=\dfrac3{32} \enar$
pour , on a donc $Y-1/4\leqslant X\leqslant 1$
et on a alors la probabilité

$P\left( Y-1/4\leqslant X<1\rp=\dsp\int_{Y-1/4}^11\,dx=1-\left( Y-1/4\rp=-Y+5/4$

et donc la probabilité pour tous les :

$\begin{array}{ll} \dsp\int_{3/4}^1\left( -y+5/4\rp\,dy &=\Bigl[-\dfrac12y^2+\dfrac54y\Bigr]_{3/4}^1\\[1.2em] &\hspace{-5em}=\lp-\dfrac12+\dfrac54\right) -\lp-\dfrac12\lp\dfrac34\rp^2+\dfrac54\tm\dfrac34\rp =\dfrac3{32} \enar$
Enfin, pour , on a $Y-1/4\leqslant X\leqslant Y+1/4$ .
et on a la probabilité

$\int_{Y-1/4}{Y+1/4}1\,dx=\dfrac12$

et donc la probabilité pour tous les ,

$\int_{1/4}^{3/4}\dfrac12\,dy=\dfrac14$

Au total, la probabilité recherchée est

$P\lp\left|X-Y\right|<1/4\right) =\dfrac3{32}+\dfrac3{32}+\dfrac14=\dfrac{14}{32}=\dfrac7{16}$