Colles de mathématiques

Soit F et G deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel E . Montrer que

Si F⊂G alors F∪G = G, et tandis que si G⊂F alors F∪G = F et donc, comme F et G sont des sous-espaces vectoriels, l'inclusion d'un des sous-espaces dans l'autre suffit à ce que la réunion des deux soit aussi un sous-espace vectoriel.

Montrons maintenant que c'est aussi nécessaire.
Supposons donc que F∪G est un sous-espace vectoriel, et que, par exemple, F n'est pas inclus dans G et G n'est pas inclus dans F .
Il existe alors x∈F, et x∉G et y∈G, et y∉F
On a alors x∈F donc x∈F∪G et de même y∈G donc y∈F∪G.
Comme F∪G est un sous-espace vectoriel, on en déduit donc que x+y∈F∪G.
On a donc x+y∈F ou x+y∈G.
Mais alors si x+y∈F, et comme F est un sous-espace-vectoriel et que par hypothèse x∈F on a aussi (x+y)−x = y ∈F ce qui est contradictoire.
De même si x+y∈G, et comme G est un sous-espace-vectoriel et que par hypothèse y∈F on a aussi (x+y)−y = x ∈G ce qui est aussi contradictoire.

On a donc montré que, si F∪G est un sous-espace vectoriel, alors nécessairement un de ces deux sous-espaces est inclus dans l'autre.