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Colles de mathématiques

Sup et inf d'une loi de lois de Pareto



Exercice de maths: Variables aléatoires continues

Sujet


Soit un entier naturel $n\geq2$, et $n$ variables aléatoires indépendantes $X_1$ , $X_2$ , … , $X_n$ toutes de densité
\[f:\R\to\R, \, x\mapsto\la\begin{array}{cl} 0 &\text{si } x\leqslant1 \\ \dfrac1{x^2} &\text{sinon}\enar\right.\]


  1. Vérifier que $f$ est une densité de probabailité d'une variable aléatoire.
  2. Étudier l'existence de $E(X_i)$ et $V(X_i)$.
  3. Soit $Y=\inf(X_i)$ et $Z=\sup(X_i)$.
    Déterminer une densité de $Y$ et de $Z$.
  4. Étudier l'existence, et calculer éventuellement la valeur, de $E(Y)$, de $V(Y)$, de $E(Z)$ et de $V(Z)$.

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