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Colles de mathématiques

Calcul d'une somme


Sujet


On pose $S=\dsp\sum_{k=1}^{99}\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}$.
Montrer que, pour tout entier naturel non nul $k$, $\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=-\sqrt{k}+\sqrt{k+1}$ et calculer la valeur exacte de $S$.

Corrigé de l'exercice de maths: Sommes

Correction


Pour tout entier naturel non nul $k$,
\[\begin{array}{ll}\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\tm\dfrac{-\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}{-\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} &=\dfrac{-\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}{-k+(k+1)}\\[.8em] &=-\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\enar\]


On a alors,
\[\begin{array}{ll}S&=\dsp\sum_{k=1}^{99}\dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\\[1em] &=\dsp\sum_{k=1}^{99}-\sqrt{k}+\sqrt{k+1} \\[.5em] &=\dsp-\sum_{k=1}^{99}\sqrt{k}+\sum_{k=1}^{99}\sqrt{k+1} \\[.5em] &=\dsp-\sum_{k=1}^{99}\sqrt{k}+\sum_{k=2}^{100}\sqrt{k} \\[.5em] &=-\sqrt1+\sqrt{100}=9\enar\]