Colles de mathématiques
Racine carrée d'une loi exponentielle (bis)
Oral HEC - filière B/L, 2022
Sujet
HEC B/L - 2022 - Exercice sans préparation.
Soit une variable aléatoire de densité paire et continue sur . On suppose que suit la loi exponentielle de paramètre .
Soit une variable aléatoire de densité paire et continue sur . On suppose que suit la loi exponentielle de paramètre .
- On note la fonction de répartition de . Montrer que pour tout réel , .
- Déterminer . admet-elle une espérance ?
Corrigé de l'exercice de maths: Variables aléatoires continues - Annales HEC - B/L
Correction
oral HEC, BL - 2022 - Exercice sans préparation.
- On démontre ce résultat avec un changement de variable dans l'intégrale définissant la fonction de répartition et en utilisant la parité de la fonction densité :
en utilisant pour finir
et la relation de Chasles pour les intégrales.
- Soit la variable aléatoire . On passe par sa fonction de répartition,
pour ,
et donc, avec le résultat de première question
On sait de plus que suit la loi exponentielle de param-tre et donc que
d'où on tire
et alors
Pour , on a
Pour revenir à la densité, on dérive finalement:- pour ,
- pour ,
L'espérance de est, si elle existe,
or est paire, donc est impaire, et donc, pour tout ,
et donc .