Colles de mathématiques
Sous-espace vectoriel noyau d'une matrice et base de vecteurs
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Sujet
Soit .
On pose .
- Montrer que est un sous-espace vectoriel de .
Donner un vecteur non nul de .
- On note la base canonique de ,
et et .
Montrer que est une base de .
Corrigé de l'exercice de maths: Espaces vectoriels - Matrices
Correction
Soit .
On pose .
On pose .
- Soit et , et deux réels et ,
alors
,
et donc ,
ce qui montre que est un sous-espace vectoriel de .
Soit , alors
On peut donc choisir .
-
et
Pour montrer que est une base de , il suffit de montrer que c'est une famille libre.
Soit , et trois réels tels que , ce qui montre que la famille est libre et est donc une base.