🔍

Colles de mathématiques

Sous-espace vectoriel noyau d'une matrice et base de vecteurs


Sujet


Soit $A=\lp\begin{array}{ccc} -2&0&-4 \\ 0& 3&0 \\ 2&0&4\enar\rp$. On pose $K=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} V\in\R^3 / AV=0\ra$.
  1. Montrer que $K$ est un sous-espace vectoriel de $\R^3$.
    Donner un vecteur non nul $V_0$ de $K$.
  2. On note $\mathcal{B}=\left( E_1;E_2;E_3\rp$ la base canonique de $\R^3$, et $V_1=AE_1$ et $V_2=AE_2$.
    Montrer que $\left( V_0; V_1;V_2\rp$ est une base de $\R^3$.

Corrigé de l'exercice de maths: Espaces vectoriels - Matrices

Correction


Soit $A=\lp\begin{array}{ccc} -2&0&-4 \\ 0& 3&0 \\ 2&0&4\enar\rp$.
On pose $K=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} V\in\R^3 / AV=0\ra$.
  1. Soit $V_1\in K$ et $V_2\in K$, et deux réels $\alpha$ et $\beta$, alors $A\lp\alpha V_1+\beta V_2\rp=\alpha AV_1+\beta AV_2=\alpha\tm0+\beta\tm0=0$, et donc $\lp\alpha V_1+\beta V_2\rp\in K$, ce qui montre que $K$ est un sous-espace vectoriel de $\R^3$.
    Soit $V_0\lp\begin{array}{c}x\\y\\z\enar\rp\in K$, alors $AV_0=0\iff \la\begin{array}{ll}-2x-4z=0\\3y=0\\2x+4y=0\enar\right. \iff \la\begin{array}{ll} x=-2z\\y=0\enar\right.$
    On peut donc choisir $V_0=\lp\begin{array}{c} -2\\0\\1\enar\rp$.
  2. $V_1=AE_1=A\lp\begin{array}{c}1\\0\\0\enar\rp=\lp\begin{array}{c}-2\\0\\2\enar\rp$ et $V_1=AE_1=A\lp\begin{array}{c}0\\1\\0\enar\rp=\lp\begin{array}{c}0\\3\\0\enar\rp$
    Pour montrer que $\left( V_0; V_1;V_2\rp$ est une base de $\R^3$, il suffit de montrer que c'est une famille libre.
    Soit $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que $aV_0+bV_1+cV_2=0\iff \la\begin{array}{ll} -2a-2b=0\\3c=0\\a+2b=0\enar\right. \iff a=b=c=0$, ce qui montre que la famille est libre et est donc une base.